Subtraktion

Wie Mathematik unser Leben bestimmt

Von Geburt an ist es das Ziel eines jeden Kindes sich zu einer individuellen Persönlichkeit zu entwickeln, die in der Lage ist eigenverantwortlich und selbstbestimmt zu handeln und zu leben. Um dieses Ziel zu erreichen, bedarf es außer dem Erlernen von körperlichen Fertigkeiten, wie zum Beispiel dem Laufen, auch kognitive Fähigkeiten zu erwerben. Neben dem Schreiben und Lesen, ist das Rechnen eine ganz wichtige Fertigkeit, die der Mensch braucht, um sein Leben selbstbestimmt in die Hand nehmen zu können, damit er seinen Alltag als Erwachsener eigenverantwortlich bewältigen kann.
Die Subtraktion ist nach der Addition dabei in der Regel die zweite der 4 Grundrechenarten, mit der Kinder konfrontiert werden. Inwieweit die Kinder in der Lage sind diese zu erfassen und zu be-greifen, hängt zum einen davon ab, welche genetischen Grundlagen sie mitbringen und zum anderen davon, welche mathematischen Erfahrungen sie in den ersten Lebensjahren sammeln konnten. In unserem zunehmend industrialisierten und digitalisierten Alltag ist es jedoch immer schwieriger für die Kinder ein sogenanntes „mathematisches Fundament“ aufzubauen. Ein Grund hierfür ist die zunehmende Bewegungsarmut der Gesellschaft, da aufgrund der digitalen Möglichkeiten viele alltägliche Aufgaben wie Einkaufen, Bankgeschäfte, Behördengänge und ähnliches online schnell und unproblematisch zu erledigen sind, ohne sich dafür zu bewegen. Der zweite Grund ist die wachsende Industrialisierung, die dazu führt, dass die Lebensräume immer weniger Platz bieten um sich frei zu bewegen. Die Folge davon ist, dass für die Kinder die Möglichkeiten sehr begrenzt sind zur freien motorischen Entfaltung und damit zum Entdecken ihrer Umwelt. Das wiederum ist der Grund warum Kinder häufig nur unzureichende oder keine bildlichen /konkreten mathematischen Vorstellungen haben. Deshalb fällt es ihnen schwer zum Beispiel zu erfassen, was „Minusrechnen“ oder Subtraktion bedeutet.

Warum fällt es vielen Kindern besonders schwer die Subtraktion zu erfassen?

Dafür gibt es verschiedene Gründe.
Da wir Menschen von Geburt an uns überwiegend „vorwärts“ entwickeln, damit ist gemeint, dass wir lernen nach vorne zu krabbeln, nach vorne zu laufen und uns kaum rückwärts bewegen, ist auch all unser Denken in diese „Vorwärts“-Richtung ausgelegt. Wenn man „Minus“ rechnet, muss man in gewisser Weise rückwärts addieren-rechnen-denken. Das fällt uns aber schwer. Aus diesem Grunde ist es durchaus ratsam Kindern auch das Rückwärtslaufen beizubringen, und sie zu motivieren, es immer wieder zu tun. Ein zweiter Grund ist die Tatsache, dass eine geschriebene Subtraktionsaufgabe an der Tafel oder auf dem Papier eine abstrakte Darstellung eines ganz konkreten Handlungsvorgangs ist. Für Kinder, die keine wirklichen „Bilder“ zu den Ziffern und Rechenzeichen in ihrem Kopf haben, ist die schriftliche (abstrakte) Darstellung einer Subtraktionsaufgabe so unverständlich wie ägyptische Hieroglyphen oder chinesische Schriftzeichen. Für sie ist das lediglich eine Ansammlung von „Zeichen“ aus geraden Strichen und Linien mit Rundungen, ohne jegliches Verständnis für deren Bedeutung. Ein weiter Grund besteht in der Schwierigkeit den Zehnerübergang (ZÜ) zu erfassen, ein elementar wichtiger Baustein unseres Dezimalsystems und Grundlage jeglichen Rechnens. Bei der Addition ist der ZÜ für die Kinder noch durchaus leicht zu erfassen, denn er ist aufgrund vieler konkreter Alltagssituationen bekannt (z.B. 5 € Taschengeld +5 € Taschengeld = 10 € Taschengeld/5 Finger +5 Finger gleich 10 Finger u. Ä.) Solange Subtraktionsaufgaben keinen ZÜ haben, ist die Rechnung für die Kinder meist noch verständlich und nachvollziehbar. Der hohe abstrakte Anspruch, den die Subtraktion mit Zehnerübergang jedoch mit sich bringt, lässt viele Kinder scheitern. Das Minusrechnen/die Subtraktion mit einem ZÜ, scheint für sie ein Zauberwerk der Erwachsenen zu sein. Zum Beispiel die Aufgabe 62 - 28 =? Man beginnt mit den zwei Einern zurechnen, das heißt: 2-8. Die Gedankengänge vieler Kinder zu einer solchen Aufgabe sind ähnlich der folgenden: Ich habe 2 (vielleicht Gummibärchen) soll davon 8 (Gummibärchen) abgeben. Mal abgesehen davon, dass das in der Vorstellung praktisch nicht umsetzbar ist, behalten die Erwachsenen dann auch noch 4 (Gummibärchen) übrig. Es ist nicht so, dass die Kinder nicht erkennen, dass man 2 - 8 nicht rechnen kann. Aber da sie nicht wissen, wie sie das tun sollen, tauschen diese Kinder den Minuenden mit dem Subtrahenden und rechnen stattdessen 8 - 2, denn das können Sie rechnen. Häufig bekommen Kinder die Anweisung von Eltern oder Lehrkräften, sie sollen dann einfach mit 18 rechnen, statt mit 8, Das tun sie dann auch schematisch, verstehen aber nicht wo diese „10“ denn nun herkommen! Dementsprechend werden die Aufgaben dann doch häufig fehlerhaft, weil sie meist dann einen Zehner zu viel in Ihrer Rechnung und beim Ergebnis haben.

Der Weg vom konkreten Tun zum abstrakten Rechnen

Mit den Montessorimaterialien ist es möglich diesen Handlungsvorgang darstellbar, umsetzbar und sichtbar zu machen. Die Handlungsschritte können 1 zu 1 auf die schriftliche Darstellung übertragen werden. Somit bieten die Materialien den Kindern vielfältige Möglichkeiten einen sichtbaren Zugang zu dieser Grundrechenart zu finden. Hierbei wird ganz deutlich wo die „10“ herkommen, denn z.B. 1 Zehner wird in 10 Einer umgetauscht. Die Reaktion vieler Kinder, wenn sie das zum 1. Mal sehen und die Subtraktion mit ZÜ bisher für sie völlig unverständlich war, ist meist dieselbe: „Ja, dann kann ich das auch“ Erwähnenswert an der Stelle ist noch, dass es zwei unterschiedliche Lösungswege für die Subtraktion gibt. Der 1. konkretere Weg ist das „Wegnahme – Verfahren“, bei dem man von einer Stelle entsprechend in die vorhergehende Stelle tauscht (z.B. 1 Hunderter in 10 Zehner - oder- 1 Zehner in 10 Einer). Somit wird für die Kinder ganz deutlich wo denn die „10 oder 20 Einer/Zehner / Hunderter…“ herkommen und warum der ein oder andere Zehner, Hunderter, usw. verschwindet. Das 2. Lösungsverfahren, das Ergänzungsverfahren, allgemein als schriftliche Subtraktion bekannt, ist wesentlich abstrakter. Bei diesem Lösungsverfahren gibt man dem Minuenden zum Beispiel 10 Einer dazu und zum Ausgleich dem Subtrahenden einen Zehner. Diese sehr abstrakte Denkweise, die häufig noch nicht einmal komplett verschriftlicht wird, ist sehr schwierig für die Kinder zu erfassen. Da es unterschiedliche Materialien zur Visualisierung und Umsetzung der Subtraktion gibt, sowohl für das Wegnahme-Verfahren, als auch speziell für das Ergänzungsverfahren, findet jedes Kind in der Regel ein Material, das es anspricht und welches seinen motorischen, als auch kognitiven Fähigkeiten entspricht. Mit allen Materialien ist es dann möglich die Subtraktion zu „tun“.

Das goldene Perlenmaterial

Das absolut konkrete Material zur Umsetzung der Subtraktion ist das goldene Perlenmaterial, im Original entwickelt von Maria Montessori. Mit dem goldenen Perlenmaterial können die Kinder die Ausdehnung der Zahlen innerhalb der Stellenwerte sowohl optisch, als auch haptisch erfahren. Ebenso den schwer zu erfassenden Zehnerübergang. Dieser kann konkret sichtbar gemacht und dargestellt werden, sodass für die Kinder nachvollziehbar wird, warum zum Beispiel bei der Aufgabe 64-28 im Ergebnis nur 3 Zehner sind, trotzdem 6 - 2 Zehner eigentlich 4 ergeben würden. Wichtig ist, dass man den Kindern zuerst die Subtraktion nur auf der Handlungsebene vermittelt und sie diese dann solange wiederholen/üben lässt, bis man sicher ist, dass sie die „Bilder“ der Subtraktion abrufbar im Kopf haben. Wenn das der Fall ist, ist der nächste Schritt eine Verknüpfung der Handlung mit der schriftlichen Umsetzung. Diese gelingt am besten indem man jeden Handgriff parallel zur Materialarbeit schriftlich notiert. Die Kinder arbeiten dann vielfach eine Weile völlig parallel Schritt für Schritt mit dem Material und notieren was sie gerade getan haben. Bei dieser Arbeit darf sie niemand drängen, sondern es ist Aufgabe der Pädagogen den Kindern die Zeit zu lassen, die sie für diese parallele Tätigkeit brauchen. Die Kinder kommen ganz von alleine mit dem Wunsch es nur noch schriftlich, ohne das Material umsetzen zu wollen. Das Zeitfenster dafür wiederum ist sehr abhängig von den Fähigkeiten die jedes Kind mitbringt. Aus diesem Grunde ist es ganz wichtig jedem Kind die Zeit zu lassen die es braucht, um den Vorgang der Subtraktion für sich im Kopf „klar“ zu haben Kinder, die dann die Erfahrung machen, dass sie es nicht ohne Material schaffen, sollte man dann schrittweise mit den nachfolgenden Materialien vertraut machen, die einen immer abstrakteren Anspruch haben und sie so über die Materialarbeit beim Erfassen der abstrakten, schriftlichen Umsetzung der Subtraktion unterstützen können.

Überleitung zur Abstraktion mit Markenspiel und Rechenrahmen

Ein Material mit der nächsten Abstraktionsstufe, wäre z. B. das Markenspiel. Es vermittelt nicht mehr die konkrete Ausdehnung der Stellen E - Z - H - T, sondern die Stellenwerte sind nun nur noch in den Stellenwertfarben (grün /E-blau/Z-rot/H- grün /T) dargestellt und auf gleichgroße Holztäfelchen aufgedruckt. Dieses Material ist somit einerseits geeignet für Kinder, die eine schrittweise Heranführung an die abstrakte Umsetzung der Subtraktion brauchen, jedoch auch als Einstiegsmaterial für Kinder, die schon durchaus ein Verständnis für unsere Wertigkeiten der Stellen haben und nur noch etwas Materialunterstützung zur Festigung ihres Verständnisses für die Subtraktion benötigen. Die noch höhere Abstraktionsstufe bietet der Rechenrahmen, den es sowohl in der Ausführung für die ersten 4 Stellenwerte (E-Z-H-T) gibt, als auch mit 7 Stellenwerten vom Einer bis zu Million. Die Stellenwerte sind dabei ebenso wie beim Markenspiel in der entsprechenden Farbe dargestellt und am Rand zur Orientierung noch einmal aufgedruckt. Um mit diesem Material zu arbeiten, sollten Kinder schon über ein grundsätzlich abstraktes Wissen, die Subtraktion und den Zehnerübergang betreffend, verfügen. Beliebt ist dieses Material auch, weil man damit sehr zügig die Subtraktion umsetzen und ebenfalls wie beim goldenen Perlenmaterial, jeden Handgriff mit der schriftlichen Umsetzung verknüpfen kann. Somit bietet es vor allen Dingen motorisch „ungeduldigen“ Kindern eine angenehmere Handhabung. Alle 3 genannten Materialien, (goldenes Perlenmaterial-Markenspiel-Rechenrahmen), sind sehr gut geeignet zur Umsetzung, Visualisierung und Übung des Wegnahme-Verfahrens. Zur Verdeutlichung des abstrakten, schriftlichen Rechenweges (Ergänzungsverfahren) eignen sich nur das goldene Perlenmaterial und das Markenspiel.

Zeit zum Üben und Verstehen der Subtraktion

Passend zu den Rechenmaterialien, gibt es verschiedene Arbeitsblätter, Lern- und Arbeitskarteien mit denen man vielfältig und unterschiedlich die Subtraktion üben und vertiefen kann. Da diese Materialien alle in der Regel auf der Rückseite mit den Lösungen versehen sind, können die Kinder völlig selbstständig mit den Materialien die Subtraktion üben. Sie sind deshalb auch nicht auf eine Rückmeldung der Lehrkraft angewiesen und somit in der Lage, ganz autonom zu lernen. An der Stelle noch ein Hinweis. Die Rechenoperation Subtraktion sollte für die Schüler zuerst mit dem konkreteren Wegnahme-Verfahren eingeführt werden. Erst, wenn dieses sicher mit Material erfasst und auch auf dem schriftlichen Weg umgesetzt werden kann, ist es ratsam das wesentlich abstraktere, schriftliche Subtraktionsverfahren mit der Ergänzungsmethode anzubieten,